用兩種方法證明：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
(n≥2…，n∈N+)．
證明：解法一（放縮法）：∵
1
n2
＜
1
(n-1)×n
∴1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n

又∵
1
(n-1)×n
=
1
n-1
-
1
n
∴1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n
=1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
=2-
1
n

即1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
(n≥2…，n∈N+)，即證．
解法二（數(shù)學歸納法）：
①當n=2時，左端=1+
1
22
=
5
4
，右端=2-
1
2
=
3
2
=
6
4
，∴左端＜右端，即證．
②假設n=k時，有1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
(n≥2…，n∈N+)恒成立，即1+
1
22
+
1
32
+…+
1
k2
＜2-
1
k
恒成立，
那么當n=k+1時，1+
1
22
+…+
1
k2
+
1
(k+1)2
＜2-
1
k
+
1
(k+1)2
=2-
k2+k+1
(k+1)2•k
＜2-
k2+k
(k+1)2•k
=2-
1
k+1
也成立，
即當n=k時上述原命題也成立，
綜上，由①②知，1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
(n≥2…，n∈N+)恒成立，即證．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用兩種方法證明：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
(n≥2…，n∈N+)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學只會用綜合法證明，有3位同學只會用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數(shù)有（　�。┓N．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設α為任意角，請用下列兩種方法證明：tanα+cotα=secα•cscα．
（1）運用任意角的三角函數(shù)定義證明；
（2）運用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學有列方程解應用題，中學有等積法求高…
請結(jié)合二項式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
證明：
（1）
n
r=0
(
C
r
n
)2=
C
n
2n
；  
（2）
m
r=0
(
C
r
n
C
m-r
n
)=
C
m
2n
．

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