Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1．如果存在正項數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，求證：

1

2

≤Sn＜1．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）滿足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1．可的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）． 從而利用疊乘可求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）利用裂項法求和，利用函數(shù)的單調(diào)性可證．

解答：解：（1）

a

•

b

=-1，∴y=f（x）=x³-x+1（x≠0）
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
所以代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n            ①
又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2）②
①-②得 

an

an-1

=

n-1

n+1

則an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)…（8分）
（2）∵an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=a1+a2+…+an=1-

1

n+1

∵n≥1時，y=1-

1

n+1

是關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)
所以1-

1

n+1

≥

1

2

，而1-

1

n+1

＜1顯然成立，所以原式成立 …（13分）

點評：本題以向量為載體，考查數(shù)列問題，考查疊乘法求數(shù)列的通項，考查裂項法求和，由一定的綜合性．