Question

已知函數(shù)f（x）=x+（a≠0），過P（1，0）作f（x）圖象的切線l．
（1）當a=-2時，求出所有切線l的方程．
（2）探求在a≠0的情況下，切線l的條數(shù)．
（3）如果切線l有兩條，切點分別為M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），求g（a）=|M₁M₂|的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=-2時，得出函數(shù)的解析式，驗證知點P不在曲線上，故設出切點M（x，y），求出此點的導數(shù)寫出點斜式方程，再由此點在曲線上，代入曲線方程，兩個方程聯(lián)立求出切點的橫坐標即可以求出切線的斜率由此即得所有切線l的方程；
（2）求出導數(shù)，根據(jù)參數(shù)a的取值范圍對導數(shù)有解的情況進行分析，有幾個解則有幾條切線；
（3）如果切線l有兩條，切點分別為M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），則x₁，x₂滿足方程x²+2ax-a=0，由此可以求得兩點橫坐標的和與積，再用兩點間距離公式求出g（a）的表達式將兩根之和與兩根之積代入即可．|
解答：解：（1）．當a=-2時，f（x）=x+，所以P不在f（x）的圖象上，設切點為M（x，y）
∵f′（x）=1+，∴f′（x）=1+=k=，
又y=x+，代入整理得：x²-4x+2=0，即x=，
∴f′（x）=1+=1+
∴切線l的方程：y=（1+）（x-1）
（2）．f′（x）=1-
只有當a=-1時，點P在f（x）的圖象上，
∴只有當a=-1時，P可以是切點且l的方程：y=2x-2．
當P是不是切點時，設切點為M（x，y），x≠0，
∵f′（x）=1-，∴f′（x）=1-=k=，
又y=x+，代入整理得：x²+2ax-a=0，，┉①
△=4a²+4a，經(jīng)檢驗，x=1不滿足方程．
當a＞0或a＜-1時，△＞0，切點有兩個；
當-1＜a＜0時，△＜0，沒有切點；
綜上所述：
當-1＜a＜0時，沒有切線l存在；
當a=-1時，只有一條切線l；
當a＞0或a＜-1時，有兩條切線l存在
（3）由（2）問可知，當a＞0或a＜-1時，有兩條切線l存在．
由①式可知：x₁，x₂滿足方程x²+2ax-a=0，
即x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-a
∵y₁=x₁+，y₂=x₂+
∴g（a）=\M₁M₂\==
===2
∴g（a）=2，a＞0或a＜-1
點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，解題的關(guān)鍵是正確求出導數(shù)，根據(jù)曲線切線的幾何特征建立方程求切點的橫坐標，在第二問中由于參數(shù)的取值范圍不同會對導數(shù)解的個數(shù)有影響，故需要對其有幾個根進行研究，對參數(shù)分類討論，三中關(guān)鍵是判斷出此時兩切點的橫坐標是所得方程的兩個根，利用根系關(guān)系將兩根之和與兩根之積表示出來，以達到用參數(shù)表示出g（a）的目的，本題容易因為沒有驗證點P是否在曲線上導致問題無法求解，所給的點是切點與不是切點，其求法是不一樣的，對此可以參考本題第二小題．