Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其長軸長是短軸長的2倍，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，C、D分別為橢圓C₁的上下頂點(diǎn)，M為橢圓C₁上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M做圓C₂：（x-1）²+y²=1的兩條切線分別交y軸于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，記△MCD、△MPQ的面積分別為S₁，S₂，求

S1

S2

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a=2b b2 a =1

，由此能求出橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意知，兩條切線的斜率都存在，設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀），切線的斜率為k，則切線方程為kx-y+y₀-kx₀=0，

|k+y0-kx0|

k2+1

=1，由此入手能求出

S1

S2

的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其長軸長是短軸長的2倍，
過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2，
∴

a=2b b2 a =1

，解得b=2，a=4，
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）由題意知，兩條切線的斜率都存在，設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀），
切線的斜率為k，則切線方程為y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，
∴

|k+y0-kx0|

k2+1

=1，
∴（x02-2x0）k²+2（1-x₀）y₀k+y₀²-1=0，
記其兩根分別為k₁，k₂，
在y-y₀=k（x-x₀）中，
令x=0，得y=y₀-kx₀，∴|PQ|=|（k₁-k₂）x₀|，
∴|PQ|²=x02[(k1+k2)2-4k1k2]
=

4(1-x0)2y02-4(x02-2x0)(y02-1)

(x02-2x0)2

•x02
=4•

y02+x02-2x0

(x0-2)2

，
又

x02

16

+

y02

4

=1，
∴|PQ|²=

3x02-8x0+16

(x0-2)2

=

3(x02-4x0+4)+4x0+4

(x0-2)2

=3+

4(x0+1)

(x0-2)2

，
令x₀+1=t，則t∈[-3，1）∪（1，5]，

4(x0+1)

(x0-2)2

=

4t

(t-3)2

=

4

t+ 9 t -6

，
當(dāng)t=-3時，

4

t+ 9 t -6

取得最小值-

1

3

，
∴

S1

S2

=

|CD|

|PQ|

=

4

|PQ|

的最大值為

4

3- 1 3

=

6

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩個三角形面積比值的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運(yùn)用．