Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=

4an+4

an+4

（1）求證：數(shù)列{

an+2

an-2

}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)m，n，p∈N^*，m＜n＜p，問：數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使a_m，a_n，a_p成等差數(shù)列，如果存在，請求出這三項(xiàng)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)

an+1+2

an+1-2

=

4an+4 an+4 +2

4an+4 an+4 -2

=3×

an+2

an-2

，即可證明；
（2）若存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列，則2a_n=a_m+a_p，代入化簡可得5（3^m-1-3^n-1）（5×3^p-1-1）=（5×3^n-1-1）（5×3^m-1-1），根據(jù)左邊是5的倍數(shù)，右邊不是5的倍數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵a_n+1=

4an+4

an+4

，
∴

an+1+2

an+1-2

=

4an+4 an+4 +2

4an+4 an+4 -2

=3×

an+2

an-2

，
∴{

an+2

an-2

}是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
（2）解：由（1）知

an+2

an-2

=5×3^n-1，
∴a_n=

4

5×3n-1-1

+2，
若存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列，則2a_n=a_m+a_p，
∴2（

4

5×3n-1-1

+2）=

4

5×3m-1-1

+2+

4

5×3p-1-1

+2，
化簡得5（3^m-1-3^n-1）（5×3^p-1-1）=（5×3^n-1-1）（5×3^m-1-1），
∵左邊是5的倍數(shù)，右邊不是5的倍數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列．

點(diǎn)評：在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的思想、數(shù)學(xué)化歸的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會和反思．