4.已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.
(1)若f(x)<0的解集為(-1,2),求m的值;
(2)若對(duì)于x∈R,f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)由f(x)<0的解集為(-1,2),得到-1,2是方程mx2-mx-1=0的兩個(gè)根,且m>0,即可求出m的值.
(2)若f(x)<0恒成立,則m=0或$\left\{\begin{array}{l}{m<0}\\{△={m}^{2}+4m<0}\end{array}\right.$,分別求出m的范圍后,綜合討論結(jié)果,可得答案.
(3)若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,則m(x-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$m-6<0,x∈[1,3]恒成立,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論,綜合討論結(jié)果,可得答案.

解答 解:(1)f(x)<0的解集為(-1,2),
∴-1,2是方程mx2-mx-1=0的兩個(gè)根,且m>0,
∴-1×2=$\frac{1}{m}$,
解得m=$\frac{1}{2}$
(2)當(dāng)m=0時(shí),f(x)=-1<0恒成立,
當(dāng)m≠0時(shí),若f(x)<0恒成立,
則$\left\{\begin{array}{l}{m<0}\\{△={m}^{2}+4m<0}\end{array}\right.$
解得-4<m<0
綜上所述m的取值范圍為(-4,0]
(3)要x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,
即m(x-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$m-6<0,x∈[1,3]恒成立.
令g(x)=m(x-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$m-6,x∈[1,3],
當(dāng)m>0時(shí),g(x)是增函數(shù),
所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,
解得m<$\frac{6}{7}$.
所以0<m<$\frac{6}{7}$,當(dāng)m=0時(shí),-6<0恒成立.
當(dāng)m<0時(shí),g(x)是減函數(shù).
所以g(x)max=g(1)=m-6<0,
解得m<6.
所以m<0.
綜上所述,m<$\frac{6}{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的最值,其中將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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