橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)、.記其上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.
（1）求圓心在線(xiàn)段上，且與坐標(biāo)軸相切于橢圓焦點(diǎn)的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧上求一點(diǎn)，使的面積最大.

（1）圓的方程為；
（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積最大.

解析試題分析：（1）先將橢圓的方程為，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程，并求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓與坐標(biāo)軸相切于焦點(diǎn)，且圓心在線(xiàn)段上，從而求出圓心的坐標(biāo)以及圓的半徑，進(jìn)而求出圓的方程；（2）法一是根據(jù)參數(shù)方程法假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并計(jì)算出點(diǎn)到線(xiàn)段的距離和線(xiàn)段的長(zhǎng)度，然后以為底邊，為的高計(jì)算的面積的代數(shù)式，并根據(jù)代數(shù)式求出的面積的最大值并確定點(diǎn)的坐標(biāo)；法二是利用的面積取最大值時(shí)，點(diǎn)處的切線(xiàn)與線(xiàn)段平行，將切線(xiàn)與橢圓的方程聯(lián)立，利用確定切線(xiàn)的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，則有，解得，
故橢圓的方程為，故上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，
則線(xiàn)段的方程為，即，
由于圓與坐標(biāo)軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，
若圓與坐標(biāo)軸相切于點(diǎn)，則圓心在直線(xiàn)上，此時(shí)直線(xiàn)與線(xiàn)段無(wú)交點(diǎn)，
若圓與坐標(biāo)軸相切于點(diǎn)，則圓心在直線(xiàn)上，聯(lián)立，解得，
即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為，
故圓的方程為；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，
點(diǎn)到線(xiàn)段的距離 
，
，則，故，故，
，而，
則，
故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值為，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
法二：設(shè)與平行的直線(xiàn)為，
當(dāng)此直線(xiàn)與橢圓相切于第一象限時(shí)，切點(diǎn)即所求點(diǎn)，
由得：①
令①中，有：，
又直線(xiàn)過(guò)第一象限，故，解得，
此時(shí)由①有，
代入橢圓方程，取，解得.故.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.圓的方程；3.三角形的面積

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，寫(xiě)出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程；（不要求證明）
（3）直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)與直線(xiàn)垂直，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓，、是其左右焦點(diǎn)，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)斜率為，且，求直線(xiàn)斜率的取值范圍；
（3）若為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線(xiàn)分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，直線(xiàn)l的方程為： 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線(xiàn)l與橢圓相交于、兩點(diǎn)
①若線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；
②已知點(diǎn)，求證：為定值

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在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．已知為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是直線(xiàn)上的點(diǎn)，滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡
方程.

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已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，直線(xiàn)分別與直線(xiàn)：相交于兩點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

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已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，一條準(zhǔn)線(xiàn)的方程為.
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）射線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)，分別與橢圓交于 兩點(diǎn)（兩點(diǎn)異于）．求證：直線(xiàn)的斜率為定值．

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已知橢圓：與正半軸、正半軸的交點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，求面積的最大值。

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