Question

14．在四棱錐P-ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E為棱PD的中點．
（1）求證：AE∥平面PBC；
（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PC中點E，連結(jié)EF、BF，推導(dǎo)出四邊形ABFE是平行四邊形，從而AE∥BF，由此能證明AE∥平面PBC．
（2）由DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，得PB⊥CD，從而PB⊥平面PCD，由此能證明平面PAB⊥平面PCD．

解答 證明：（1）取PC中點E，連結(jié)EF、BF，
∵在四棱錐P-ABCD中，DC∥AB，DC=2AB，E為棱PD的中點，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，AB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AE∥BF，
∵AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，
∴PB⊥CD，
∵PC∩CD=C，∴PB⊥平面PCD，
∵PB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．