Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+b，當x∈[0，3]時，|f（x）|≤1恒成立，則2a+b的最大值為1．

Answer 1

分析 通過討論a的符號，得到f（x）的最小值和最大值，由恒成立思想可得a，b滿足的條件，作出可行域，從而求出2a+b的最大值即可．

解答 解：f（x）=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，
則函數(shù)的對稱軸為x=1，最值為b-a，
當a＞0時，函數(shù)f（x）圖象開口向上，
當x=1時，f（x）取最小值b-a，
當x=3時取最大值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即-1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得-1≤b-a，且3a+b≤1，且a＞0，
作出點（a，b）滿足的不等式組的可行域，如上圖．
則z=2a+b過點（0，1）時，取得最大值1；
當a＜0時，函數(shù)f（x）圖象開口向下，
當x=1時，f（x）取最大值b-a，
當x=3時取最小值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即-1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得-1≤3a+b，且-a+b≤1，且a＜0，
作出點（a，b）滿足的不等式組的可行域，如下圖．
則z=2a+b過點（0，1）時，取得最大值1．
故答案為：1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，注意運用線性規(guī)劃求最值，是一道中檔題．