Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-[x]，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}$其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若方程f（x）=k（x+1）（k＞0）有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)[x]的定義，分別作出函數(shù)y=f（x）和g（x）=k（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)-2≤x＜-1時，[x]=-2，此時f（x）=x-[x]=x+2．
當(dāng)-1≤x＜0時，[x]=-1，此時f（x）=x-[x]=x+1．
當(dāng)0≤x＜1時，-1≤x-1＜0，此時f（x）=f（x-1）=x-1+1=x．
當(dāng)1≤x＜2時，0≤x-1＜1，此時f（x）=f（x-1）=x-1．
當(dāng)2≤x＜3時，1≤x-1＜2，此時f（x）=f（x-1）=x-1-1=x-2
設(shè)g（x）=k（x+1），則g（x）過定點（-1，0），
坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖：
當(dāng)直線y=g（x）繞著點（-1，0）從（2，1）到（3，1）時，圖象有3個交點．
由兩點（-1，0）和（2，1）的斜率為$\frac{1-0}{2+1}$=$\frac{1}{3}$；兩點（-1，0）和（3，1）的斜率為$\frac{1-0}{3+1}$=$\frac{1}{4}$．
故實數(shù)k的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)交點個數(shù)的問題，利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想．