Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求二面角B-AP-C的正切值；
2）求點(diǎn)C到平面APB的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PC⊥平面ABC，BC⊥平面PAC，BC⊥AP，設(shè)點(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，連結(jié)BE，CE，則BE⊥AP，再推導(dǎo)出EC⊥AP，從而∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，由此能求出二面角B-AP-C的正切值．
（2）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)C到平面APB的距離．

解答 解：（1）∵AC=BC=$\sqrt{2}$，AP=BP，PC=PC，
∴△APC≌△BPC，
又PC⊥AC，∴PC⊥BC
又∵AC∩BC=C，AC，BC?平面ABC，
∴PC⊥平面ABC，
∵PC⊥BC，BC⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC?平面PAC
∴BC⊥平面PAC．
又∵AP?平面PAC，∴BC⊥AP，
設(shè)點(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，連結(jié)BE，CE，
∵BP=AB，點(diǎn)E為棱PA中點(diǎn)，∴BE⊥AP．
又∵BC∩BE=B，BC，BE?平面BEC，∴PA⊥平面BEC，
∵EC?平面BEC，∴EC⊥AP，∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，
AB=AP=AP=$\sqrt{2+2}$=2，在Rt△BCE中，BC=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BEC=$\frac{BC}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角B-AP-C的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}，0，0$），P（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（0，$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴點(diǎn)C到平面APB的距離d=$\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，熟練掌握空間線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化及理解二面角的平面角的概念是解答的關(guān)鍵．