Question

3．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式分別是a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+$\frac{{{{（{-1}）}^{n+2017}}}}{n}$，若a_n＜b_n，對任意n∈N₊恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是$[{-2，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 a_n＜b_n對任意n∈N^*恒成立，分類討論：當n為偶數(shù)時，可得a＜2-$\frac{1}{n}$＜2-$\frac{1}{2}$，解得a范圍．當n為奇數(shù)時，可得-a＜2+$\frac{1}{n}$，解得a范圍，求其交集即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+$\frac{{{{（{-1}）}^{n+2017}}}}{n}$，且a_n＜b_n對任意n∈N^*恒成立，
∴當n為偶數(shù)時，解得a＜2-$\frac{1}{n}$＜2-$\frac{1}{2}$，
解得a＜$\frac{3}{2}$．
當n為奇數(shù)時，解得-a＜2+$\frac{1}{n}$，解得a＞-（2+$\frac{1}{n}$）．∴a≥-2．
∴-2$≤a＜\frac{3}{2}$．即實數(shù)a的取值范圍是$[{-2，\frac{3}{2}}）$．
故答案為：$[{-2，\frac{3}{2}}）$．

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．