【題目】已知拋物線，過點且互相垂直的兩條動直線、與拋物線分別交于、和、.

（1）求的取值范圍；

（2）記線段和的中點分別為、，求證：直線恒過定點.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）設直線的方程為，設點、，聯(lián)立直線與拋物線的方程，列出韋達定理，利用弦長公式可得出關于的表達式，然后利用導數(shù)可求得的最小值；

（2）求出線段的中點的坐標，進而可得出點的坐標，可求得直線的方程，進而可得出直線所過定點的坐標.

（1）由題意可知兩直線、的斜率一定存在，且不等于.

設，，，則.

聯(lián)立直線與拋物線的方程，有，

其中，由韋達定理，有.

所以.

設.

因為，又因為.

所以在定義域內單調遞增，易得，

即當時，；當時，.

所以時，單調遞減；，單調遞增，

所以在處取得最小值，且當時，.

故的最小值為，因此，的取值范圍是；

（2）因為由（1）有，，

所以中點E的坐標為，同理點F的坐標為.

于是，直線的斜率為，

則直線的方程為，

所以直線恒過定點.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】設函數(shù)，，其中為歐拉數(shù)，，為未知實數(shù)，且.如果和均為函數(shù)的單調區(qū)間.

（1）求；

（2）若函數(shù)在上有極值點，為實數(shù)，求的取值范圍.

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【題目】植物園擬建一個多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻．現(xiàn)有兩種方案：

方案① 多邊形為直角三角形（），如圖1所示，其中；

方案② 多邊形為等腰梯形（），如圖2所示，其中．

請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．

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【題目】已知，分別是雙曲線的左，右焦點，過點向一條漸近線作垂線，交雙曲線右支于點，直線與軸交于點（，在軸同側），連接，若的內切圓圓心恰好落在以為直徑的圓上，則的大小為________；雙曲線的離心率為________．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，.

(1)證明：；

(2)若，且四棱錐的體積為，求的面積.

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【題目】“業(yè)務技能測試”是量化考核員工績效等級的一項重要參考依據(jù)．某公司為量化考核員工績效等級設計了A，B兩套測試方案，現(xiàn)各抽取名員工參加A，B兩套測試方案的預測試，統(tǒng)計成績（滿分分），得到如下頻率分布表．

成績頻率

方案A

方案B

（1）從預測試成績在的員工中隨機抽取人，記參加方案A的人數(shù)為，求的最有可能的取值；

（2）由于方案A的預測試成績更接近正態(tài)分布，該公司選擇方案A進行業(yè)務技能測試．測試后，公司統(tǒng)計了若干部門測試的平均成績與績效等級優(yōu)秀率，如下表所示：

根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經計算得，，．

（�。┤裟巢块T測試的平均成績?yōu)?/span>，則其績效等級優(yōu)秀率的預報值為多少？

（ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求某個部門績效等級優(yōu)秀率不低于的概率為多少？

參考公式與數(shù)據(jù)：（1），，．

（2）線性回歸方程中，，．

（3）若隨機變量，則，，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為提高市場銷售業(yè)績，促進某產品的銷售，隨機調查了該產品的月銷售單價（單位：元/件）及相應月銷量（單位：萬件），對近5個月的月銷售單價和月銷售量的數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計，得到如下表數(shù)據(jù)：

月銷售單價（元/件）

9

10

11

月銷售量（萬件）

11

10

8

6

5

（Ⅰ）建立關于的回歸直線方程；

（Ⅱ）該公司開展促銷活動，當該產品月銷售單價為7元/件時，其月銷售量達到18萬件，若由回歸直線方程得到的預測數(shù)據(jù)與此次促銷活動的實際數(shù)據(jù)之差的絕對值不超過萬件，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問：（Ⅰ）中得到的回歸直線方程是否理想？

（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）的結果，若該產品成本是5元/件，月銷售單價為何值時（銷售單價不超過11元/件），公司月利潤的預計值最大？

參考公式：回歸直線方程，其中，．

參考數(shù)據(jù)：，．

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【題目】在幾何體中，如圖，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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