【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)極大值為,極小值為.(2)
【解析】
(1)將代入解析式,求得并令,求得極值點;由導(dǎo)函數(shù)的符號,可判斷函數(shù)的單調(diào)性,進而求得其極值.
(2)根據(jù)解析式求得,并令,求得極值點;討論的取值范圍,即可由最值及不等式求得符合題意的的取值范圍.
(1)由得,
故.
令,解得或,
由,得或,
所以在和單調(diào)遞增,
由,得,
所以在單調(diào)遞減.
所以極大值為,極小值為.
(2),,
令,得,,
(i)當(dāng),即時,在單調(diào)遞減,
依題意則有成立,
得,此時不成立;
(ii)當(dāng),即時,
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
依題意則有
得,由于,故此時不成立;
(iii)當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,
依題意則有,得
綜上,的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某外賣平臺為提高外賣配送效率,針對外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案,為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣騎手,并將他們隨機分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量(單位:單)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖,求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù),已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52,結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高,并說明理由;
(2)設(shè)所有50名騎手在相同時間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù),將完成訂單數(shù)超過記為“優(yōu)秀”,不超過記為“一般”,然后將騎手的對應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表;
優(yōu)秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否有的把握認為兩種配送方案的效率有差異.
附:,其中.
0.05 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |
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【題目】FEV1(一秒用力呼氣容積)是肺功能的一個重要指標.為了研究某地區(qū)10~15歲男孩群體的FEV1與身高的關(guān)系,現(xiàn)從該地區(qū)A、B、C三個社區(qū)10~15歲男孩中隨機抽取600名進行FEV1與身高數(shù)據(jù)的相關(guān)分析.
(1)若A、B、C三個社區(qū)10~15歲男孩人數(shù)比例為1:3:2,按分層抽樣進行抽取,請求出三個社區(qū)應(yīng)抽取的男孩人數(shù).
(2)經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后,得到該地區(qū)10~15歲男孩身高(cm)與FEV1(L)對應(yīng)的10組數(shù)據(jù),并作出如下散點圖:
經(jīng)計算得:,,,,的相關(guān)系數(shù).
①請你利用所給公式與數(shù)據(jù)建立關(guān)于的線性回歸方程,并估計身高160cm的男孩的FEV1的預(yù)報值.
②已知若①中回歸模型誤差的標準差為,則該地區(qū)身高160cm的男孩的FEV1的實際值落在,內(nèi)的概率為.現(xiàn)已求得,若該地區(qū)有兩個身高160cm的12歲男孩M和N,分別測得FEV1值為2.8L和2.3L,請結(jié)合概率統(tǒng)計知識對兩個男孩的FEV1指標作出一個合理的推斷與建議.
附:樣本的相關(guān)系數(shù),其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,,.
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【題目】已知拋物線,過點且互相垂直的兩條動直線、與拋物線分別交于、和、.
(1)求的取值范圍;
(2)記線段和的中點分別為、,求證:直線恒過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直角坐標系中,圓(為參數(shù))上的每一點的橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,得到曲線.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標方程;
(2)設(shè)與兩坐標軸分別相交于兩點,點在上,求的面積的最大值.
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【題目】如圖所示的幾何體中,和均為以為直角頂點的等腰直角三角形,,,,,為的中點.
(1)求證:;
(2)求二面角的大。
(3)設(shè)為線段上的動點,使得平面平面,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列,滿足,,設(shè)正項數(shù)列的前項和為,且.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)在和之間插入1個數(shù),使、、成等差數(shù)列;在和之間插入2個數(shù)、,使、、、成等差數(shù)列;;在和之間插入個數(shù)、、、,使、、、、、成等差數(shù)列.
① 求;
② 對于①中的,是否存在正整數(shù)、,使得成立?若存在,求出所有的正整數(shù)對;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線的焦點為,若△的三個頂點都在拋物線上,且,則稱該三角形為“核心三角形”.
(1)是否存在“核心三角形”,其中兩個頂點的坐標分別為和?請說明理由;
(2)設(shè)“核心三角形”的一邊所在直線的斜率為4,求直線的方程;
(3)已知△是“核心三角形”,證明:點的橫坐標小于2.
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