Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）-{cos^2}x+\frac{1}{2}$（x∈R），則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
• C． 點(diǎn)$（\frac{π}{6}，0）$為函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
• D． 函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，再依次判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）-{cos^2}x+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）（x∈R），
由ω=2知，f（x）的最小正周期為π，A錯(cuò)誤；
由f（0）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$不是最值，
∴f（x）的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
由f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\frac{1}{2}$≠0，
∴點(diǎn)$（\frac{π}{6}，0）$不是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤；
由sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，∴f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．