Question

已知x，y滿足

1

4

x2-4≤y≤

3

4

16-x2

，則函數(shù)z=|x+y-10|的最大值與最小值之和為

20

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=|x+y-10|=

2

×

|x+y-10|

2

，再利用幾何意義是點(diǎn)到直線的距離求最值，只需求出可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x+y-10=0的距離的最值，從而得到z最值即可．

解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖陰影部分．
其下邊辦界是拋物線：y=

1

4

x2-4，
上邊界是橢圓的一部分：y=

3

4

16-x2

．
z=|x+y-10|=

2

×

|x+y-10|

2

，
設(shè)平行于直線x+y-10=0的直線的方程為x+y+m=0，
①由

x+y+m=0 y= 3 4 16-x2

得25x²+32mx+16m²-9×16=0，
由△=0，得m=±5，
∵當(dāng)平行于直線x+y-10=0的直線x+y-5=0和橢圓相切時(shí)，
切點(diǎn)到直線x+y-10=0的距離最小，最小為

2

×

|10-5|

2

=

5 2

2

×

2

=5，
∴目標(biāo)函數(shù)z=|x+y-10=0|的最小值是5，
②由

x+y+m=0 y= 1 4 x2-4

得

1

4

x2+x+m-4=0，
由△=0，得m=5，
當(dāng)平行于直線x+y-10=0的直線x+y+5=0和拋物線相切時(shí)，
切點(diǎn)到直線x+y-10=0的距離最大，最大為

2

×

|10+5|

2

=

15 2

2

×

2

=15，
∴目標(biāo)函數(shù)z=|x+y-10|的最大值是15，
則函數(shù)z=|x+y-10|的最大值與最小值之和為 20
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．