無論為任何實數(shù),直線
與雙曲線
恒有公共點.
(1)求雙曲線的離心率
的取值范圍;
(2)若直線過雙曲線
的右焦點
,與雙曲線交于
兩點,并且滿足
,求雙曲線
的方程.
(1);(2)
.
解析試題分析:(1)欲求雙曲線的離心率
的取值范圍,只需找到
,
的齊次不等式,根據(jù)直線
:
與雙曲線
恒有公共點,聯(lián)立方程后,方程組必有解,
成立,即可得到含
,
的齊次不等式,離心率
的取值范圍可得.
(2)先設(shè)直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,求出
,
,代入
,化簡,即可求出
,代入
即可.
(1)聯(lián)立,得
,
即
當(dāng)時,
,直線與雙曲線無交點,矛盾
所以.所以
.
因為直線與雙曲線恒有交點,恒成立
即.所以
,所以
,
.
(2),直線
:
,
,
所以
因為,所以
,整理得,
因為,所以
,
,所以
所以雙曲線.
考點:圓錐曲線的綜合;雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;雙曲線的簡單性質(zhì).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)分別是橢圓
的左,右焦點.
(1)若是橢圓在第一象限上一點,且
,求
點坐標(biāo);(5分)
(2)設(shè)過定點的直線
與橢圓交于不同兩點
,且
為銳角(其中
為原點),求直線
的斜率
的取值范圍.(7分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點
,且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一正方形.(12分)
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓
交于
,
兩點,若線段
的垂直平分線經(jīng)過點
,求
(為原點)面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(4,-
).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·
=0;
(3)求△F1MF2的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點O,半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個焦點分別是
.
(1)若橢圓C上一動點滿足
,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點作直線l與橢圓C只有一個交點,且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
,求P點的坐標(biāo);
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點
的直線的最短距離
.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:(
)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點);
(ii)當(dāng)最小時,求點T的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓
的離心率為
,直線
被橢圓
截得的線段長為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點的直線與橢圓交于
兩點(
不是橢圓
的頂點).點
在橢圓
上,且
,直線
與
軸、
軸分別交于
兩點.
(i)設(shè)直線的斜率分別為
,證明存在常數(shù)
使得
,并求出
的值;
(ii)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓(
)的左、右焦點為
,右頂點為
,上頂點為
.已知
.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點,以線段
為直徑的圓經(jīng)過點
,經(jīng)過原點
的直線
與該圓相切,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)(2011•陜西)設(shè)橢圓C:過點(0,4),離心率為
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標(biāo).
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