Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且滿足4cos²-cos2（B+C）=，
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若b+c=3，求a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由三角形的內(nèi)角和定理得到B+C=π-A，代入已知的等式中，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知的等式，得到關(guān)于cosA的方程，求出方程的解得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入得到一個(gè)關(guān)系式，變形后將b+c的值代入，利用基本不等式即可求出a的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，即B+C=π-A，
∴4cos²-cos2（B+C）=2（1+cosA）-cos2A=-2cos²A+2cosA+3=，
∴2cos²A-2cosA+=0，
∴cosA=，
又0＜A＜π，
∴A=60°；
（Ⅱ）由余弦定理cosA=得：bc=b²+c²-a²，
∴a²=（b+c）²-3bc=9-3bc≥9-3（）²=，
∴a≥，
則a的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)取等號(hào)．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：二倍角的余弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．