Question

6．已知函數(shù)$f（x）=sin\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求f（x）的最小值及取得最小值時x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調性求出f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．
（2）利用正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，求得當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求f（x）的最小值及取得最小值時x的集合．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{{\frac{2}{3}}}=3π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$3kπ-\frac{5π}{4}≤x≤3kπ+\frac{π}{4}$，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為$[3kπ-\frac{5π}{4}，3kπ+\frac{π}{4}]$（k∈Z）．
（2）由（1）知f（x）在$（0，\frac{π}{4}]$上遞增，在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上遞減；
又$f（0）=f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}$，∴$f{（x）_{min}}=\sqrt{3}$，此時x的集合為$\{0，\frac{π}{2}\}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調性，定義域和值域，屬于基礎題．