Question

【題目】如圖，某校打算在長(zhǎng)為1千米的主干道一側(cè)的一片區(qū)域內(nèi)臨時(shí)搭建一個(gè)強(qiáng)基計(jì)劃高校咨詢(xún)和宣傳臺(tái)，該區(qū)域由直角三角形區(qū)域（為直角）和以為直徑的半圓形區(qū)域組成，點(diǎn)（異于，）為半圓弧上一點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足.已知，設(shè)，且.初步設(shè)想把咨詢(xún)臺(tái)安排在線(xiàn)段，上，把宣傳海報(bào)懸掛在弧和線(xiàn)段上.

（1）若為了讓學(xué)生獲得更多的咨詢(xún)機(jī)會(huì)，讓更多的省內(nèi)高校參展，打算讓最大，求該最大值；

（2）若為了讓學(xué)生了解更多的省外高校，貼出更多高校的海報(bào)，打算讓弧和線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和最大，求此時(shí)的的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）由題意，結(jié)合三角恒等變換的公式，求得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

（2）由題意，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，求得弧長(zhǎng)和線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和表達(dá)式，設(shè)，，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（1）由題意，在中，可得，

在中，可得，

在中，可得，

所以

.

因?yàn)?/span>，則，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為千米.

（2）取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則.

由（1）知，，

故的長(zhǎng)為，

則和線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和

，.

設(shè)，，，，

則，

因?yàn)?/span>，，所以，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故.

易知函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，所以，

所以，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和最大.