Question

已知數列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=

4an-2

an+1

（n∈N^*）．
（1）求實數a為何值時，數列{a_n}是常數數列；
（2）記bn=

an-2

an-1

（n∈N^*），當l＜a＜2時，求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）在（2）的條件下，若不等式a_n＞a_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若數列{a_n}是常數數列；則a_n+1=a_n，即

4an-2

an+1

=a_n對任意正整數n都成立，解得a_n=1，或a_n=2．故當a=1，或a=2時，數列{a_n}是常數數列；
（2）由已知，bn+1=

an+1-2

an+1-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2

3

×

an-2

an-1

=

2

3

b_n，數列{b_n}是等比數列
（3）在（2）的條件下，由bn=

an-2

an-1

得a_n=

bn-2

bn-1

．若不等式a_n＞a_n+1對一切n∈N^*恒成立，a_n+1-a_n=

bn+1-2

bn+1-1

-

bn-2

bn-1

=

1

bn-1

-

1

bn+1-1

=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

=

- 1 3 bn

(1- 2 3 bn)(1-bn)

＜0，通過b_n的范圍，轉化到b₁，a的范圍．

解答：解：（1）若數列{a_n}是常數數列，則a_n+1=a_n，即

4an-2

an+1

=a_n對任意正整數n都成立，
解得a_n=1，或a_n=2．故當a=1，或a=2時，數列{a_n}是常數數列；
（2）bn+1=

an+1-2

an+1-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2

3

×

an-2

an-1

=

2

3

b_n
因為a₁=a，且1＜a＜2，所以a₁∈（1，2），所以b₁≠0，所以數列{b_n}是公比為

2

3

的等比數列；
（3）由bn=

an-2

an-1

得a_n=

bn-2

bn-1

．所以a_n+1-a_n=

bn+1-2

bn+1-1

-

bn-2

bn-1

=

1

bn-1

-

1

bn+1-1

=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

=

- 1 3 bn

(1- 2 3 bn)(1-bn)

＜0
解得bn＞

3

2

，或0＜b_n＜1．若bn＞

3

2

，則b1(

2

3

)n-1＞

3

2

對一切n∈N^*恒成立，顯然不可能．0＜b_n＜1.0＜b1(

2

3

)n-1＜1．對一切n∈N^*恒成立，
只要0＜b₁＜1即可．即0＜

a1-2

a1-1

＜1，解得a₁＞2，實數a的取值范圍（2，+∞）

點評：本題考查數列性質的判斷，數列與不等式的結合．考查推理論證，運算求解能力．