Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（l為參數(shù)，α為直線l的傾斜角）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩個(gè)坐標(biāo)系下取相同的長(zhǎng)度單位．
（Ⅰ）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，求直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C和直線l交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=$\sqrt{15}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得：x-y-1=0，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（II）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ可得普通方程．將直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（l為參數(shù)，代入圓的方程：t²-2tcosα-3=0，利用|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{15}$，代入解出即可的．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得：x-y-1=0，可得極坐標(biāo)方程：ρcosθ-ρsinθ-1=0，即$\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）$=1．
（II）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ可得：（x-2）²+y²=4．
將直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（l為參數(shù)，代入圓的方程：t²-2tcosα-3=0，△＞0．
則t₁+t₂=2cosα，t₁•t₂=-3，|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+12}$=$\sqrt{15}$，
cosα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．