Question

19．已知實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤a\end{array}\right.（{a＞0}）$，若z=x+ay的最大值為2，則$m+\frac{a^2}{{m-\sqrt{2}}}（{m＞\sqrt{2}}）$的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值求出a，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的最值．

解答 解：實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤a\end{array}\right.（{a＞0}）$的可行域如圖：z=x+ay的最大值為2，
可知y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x+y=a}\end{array}\right.$解得B（0，a）；
當(dāng)a≥1時，直線y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$過B，縱截距最大，此時z的最大值為：a²=2．∴a=$\sqrt{2}$．
當(dāng)0＜a＜1時，直線y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$過A，縱截距最大，此時z的最大值為：$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$a²=2．
∴a=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$∉（0，1）舍去．
綜上a=$\sqrt{2}$，于是由m$＞\sqrt{2}$，可得m-$\frac{2}{m-\sqrt{2}}$=m-$\sqrt{2}+$$\frac{2}{m-\sqrt{2}}$$+\sqrt{2}$≥2$\sqrt{2}+\sqrt{2}$=$3\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題給出二元一次不等式組，在目標(biāo)函數(shù)z=x+ay的最大值為2的情況下求的最小值．著重考查了簡單的性質(zhì)規(guī)劃、利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．