Question

7．在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=xlnx-x的圖象上的動點，該曲線在點P處的切線l交y軸于點M（0，y_M），過點P作l的垂線交y軸于點N（0，y_N）．則$\frac{y_N}{y_M}$的范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標，求導函數(shù)，可得曲線在點P處的切線l的方程，過點P作l的垂線的方程，令x=0，可得y_M=-a，y_N=alna-a+$\frac{a}{lna}$，進而可求$\frac{y_N}{y_M}$=-lna+1-$\frac{1}{lna}$，利用基本不等式，即可求出$\frac{y_N}{y_M}$的范圍．

解答 解：設(shè)P（a，alna-a），
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲線在點P處的切線l的方程為y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得y_M=-a，
過點P作l的垂線的方程為y-alna+a=-$\frac{1}{lna}$（x-a），
令x=0，可得y_N=alna-a+$\frac{a}{lna}$，
∴$\frac{y_N}{y_M}$=-lna+1-$\frac{1}{lna}$，
∵lna+$\frac{1}{lna}$≥2或lna+$\frac{1}{lna}$≤-2，
∴-（lna+$\frac{1}{lna}$）≤-2或-（lna+$\frac{1}{lna}$）≥2，
∴$\frac{y_N}{y_M}$=-lna+1-$\frac{1}{lna}$的范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．