Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，求直角邊BC的長．

Answer 1

分析：（1）連OD，OE，由E是BC邊上的中點，得到OE是△ABC的中位線，則OE∥AC，所以有∠1=∠3，∠2=∠A，而∠A=∠3，因此得到∠1=∠2，再加上OD=OB，OE為公共邊，所以得到△OED≌△OEB，于是∠OED=∠OBE=90°．
（2）首先證明△ABC∽△ADB，得出

AB

AC

=

AD

AB

，根據(jù)AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，可得AD=4、AB=6，
從而可求AC的長，由此可求BC的長．

解答：（1）解：DE與半圓O相切
證明：連OD，OE，如圖，
∵E是BC邊上的中點，AB是半圓O的直徑，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE為公共邊，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE與半圓O相切．
（2）解：∵AB為直徑
∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∵AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根
∴解方程x²-10x+24=0得x₁=4，x₂=6
∵AD＜AB
∴AD=4、AB=6，
∴AC=9，
在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9
∴BC=

AC2-AB2

=3

5

．

點評：本題考查的重點是圓的切線的判定方法以及相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是利用經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．