Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，過F作直線l交拋物線于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方．
（1）求y_Ay_B的值，當(dāng)|AB|=8時(shí)，求直線l的方程；
（2）設(shè)P（-1，0），求證：直線PA，PB的斜率之和為0；
（3）設(shè)Q（2，0），AQ的延長線交拋物線于C，BC的中點(diǎn)為D，當(dāng)直線DF在y軸上的截距的取值范圍是（

2

3

，2），求y_A取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)l：y=k（x-1），由

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，由韋達(dá)定理和橢圓弦長公式能求出直線l的方程．
（2）由y_Ay_B=-4，和得k_PA+k_PB=

yA

xA+1

+

yB

xB+1

=0，由此能證明直線PA，PB的斜率之和為0．
（3）由（1）得C（

16

yA2

，

-8

yA

），B（

4

yA2

，

-4

yA

），從而D（

10

yA2

，

-6

yA

），DF：y=

6yA

yA2-10

（x-1），由此能求出y_A取值范圍．

解答： （1）解：由直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)知直線l的斜率不為零，
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，
∴y_Ay_B=-4，y_A+y_B=

4

k

，
當(dāng)l斜率不存在時(shí)，y_Ay_B=-4，∴y_Ay_B=-4，
|AB|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=

1+ 1 k2

(y1+y2)2-4y1y2

=8，
解得k=±1，
∴直線l的方程為：y=x-1或y=x+1．
（2）證明：∵y_Ay_B=-4，
∴k_PA+k_PB=

yA

xA+1

+

yB

xB+1

，
=

(yA+yB)(1+ yAyB 4 )

(xA+1)(xB+1)

=0，
∴直線PA，PB的斜率之和為0．
（3）解：由（1）得C（

16

yA2

，

-8

yA

），B（

4

yA2

，

-4

yA

），
∴D（

10

yA2

，

-6

yA

），∴DF：y=

6yA

yA2-10

（x-1），
令x=0，得

-6yA

yA2-10

∈(

2

3

，2)，∴y_A∈（1，2），
∴y_A取值范圍是（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查兩直線的斜率之和為0的證明，考查點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．