Question

設(shè)函數(shù)f（x）定義于閉區(qū)間[0，1]，滿足f（0）=0，f（1）=1，且對(duì)任意x，y∈[0，1]，x≤y，都有f（

x+y

2

）=（1-a²）f（x）+a²f（y），其中常數(shù)a滿足0＜a＜1，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，可求得f（

1

2

）=a²，f（

1

4

）=a⁴，繼而可求得f（

3

4

）=2a²-a⁴，利用f（

1

2

）=f（

1 4 + 3 4

2

）=-2a⁶+3a⁴，可得到關(guān)于a的方程a²=-2a⁶+3a⁴，解之即可．

解答： 解：因?yàn)閒（

1

2

）=f（

0+1

2

）=a²，…2分
f（

1

4

）=f（

0+ 1 2

2

）=a²f（

1

2

）=a⁴，…4分
f（

3

4

）=f（

1 2 +1

2

）=（1-a²）f（

1

2

）+a²f（1）=2a²-a⁴，…6分
所以f（

1

2

）=f（

1 4 + 3 4

2

）=（1-a²）f（

1

4

）+a²f（

3

4

）=-2a⁶+3a⁴，…10分
由此得a²=-2a⁶+3a⁴，…12分
而0＜a＜1，所以a=

2

2

…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，求得f（

1

2

）=a²是關(guān)鍵，著重考查賦值法的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．