Question

7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，2），B（4，6），$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{AB}$．
（1）若λ=2，且$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，求μ的值；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，恒有A，B，M三點(diǎn)共線，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量垂直，它們的數(shù)量積為0，列出方程求出μ的值；
（2）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AM}$，再利用兩向量共線，列出方程，求出λ的值．

解答 解：（1）∵A（0，2），B（4，6），
λ=2時(shí)，$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{AB}$，
且$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AB}$=0
∴（2$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0
2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$+μ${\overrightarrow{AB}}^{2}$=0
$\overrightarrow{OA}$=（0，2），$\overrightarrow{AB}$=（4，4）
∴4×4+32μ=0
解得μ=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，恒有A，B，M三點(diǎn)共線，
∴$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AM}$是共線向量，
又∵$\overrightarrow{AB}$=（4，4），
$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{AB}$=（0，2λ）+（4μ，4μ）=（4μ，2λ+4μ），
∴$\overrightarrow{AM}$=（4μ，2λ+4μ-2），
∴4（2λ+4μ-2）-4×4μ=0，
解得λ=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量的平行和垂直的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．