Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．求導(dǎo)函數(shù)可得．…（2分）
當(dāng)a＜0時，在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．…（3分）
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0得或（舍）．
函數(shù)f（x），f'（x）隨x的變化如下：

x
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．…（6分）
綜上所述，當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
當(dāng)a＜0時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=0，即對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（7分）
當(dāng)a＞0時，
①當(dāng)，即0＜a≤1時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=0，即對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（10分）
②當(dāng)，即a＞1時，f（x）在上單調(diào)遞增，所以 ．
又 f（1）=0，所以 ，與對于任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0矛盾．…（12分）
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a滿足題意，此時a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0，即使得對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）_max≤0，因此求出函數(shù)的最大值，即可確定a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，合理分類，屬于中檔題．