Question

若直線ax-by+1=0（a＞0，b＞0）和函數(shù)f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，則當(dāng)

1

a

+

1

b

取最小值時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由函數(shù)f（x）的圖象過(guò)定點(diǎn)，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)，再將此坐標(biāo)代入直線方程，得a與b的關(guān)系式，從而使

1

a

+

1

b

變形為基本不等式成立的條件，根據(jù)基本不等式中等號(hào)成立的條件得a的值，最后將a的值代入f（x）中，即得函數(shù)f（x）的解析式．

解答： 解：在函數(shù)f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）中，令x+1=0，得x=-1時(shí)，f（-1）=a⁰+1=2，
即函數(shù)f（x）的圖象過(guò)定點(diǎn)（-1，2），
∵點(diǎn)（-1，2）在直線ax-by+1=0上，∴a×（-1）-b×2+1=0，即a+2b=1．
又a＞0，b＞0，∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（a+2b）=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2b a • a b

=3+2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)

2b

a

=

a

b

即a=

2

b時(shí)，

1

a

+

1

b

取得最小值3+2

2

．此時(shí)，聯(lián)立a+2b=1，得a=

2

-1，
從而f（x）=（

2

-1）^x+1+1．
故答案為：f（x）=（

2

-1）^x+1+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)性質(zhì)及基本不等式的靈活運(yùn)用等，涉及的知識(shí)比較多，一環(huán)緊扣一環(huán)，應(yīng)注意解答過(guò)程的邏輯性．