Question

9．一般地，我們把離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$的橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”．對(duì)于下列命題：
①橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$是黃金橢圓；
②若橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{m}=1$是黃金橢圓，則$m=6\sqrt{5}-6$；
③在△ABC中，B（-2，0），C（2，0），且點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的黃金橢圓上，則△ABC的周長(zhǎng)為$6+2\sqrt{5}$；
④過(guò)黃金橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則$|{AB}|=（{\sqrt{5}-1}）a$；
⑤設(shè)F₁，F(xiàn)₂是黃金橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓C上滿(mǎn)足∠F₁PF₂=90°的點(diǎn)P不存在．
其中所有正確命題的序號(hào)是③④⑤．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 ①，$a=4，c=2，e=\frac{1}{2}$，即可判斷出正誤．
②，若焦點(diǎn)在x軸上，則$\frac{{\sqrt{12-m}}}{{\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得m．若焦點(diǎn)在y軸上，則$\frac{{\sqrt{m-12}}}{{\sqrt{m}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得m，即可判斷出正誤．
③，c=2，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，即可判斷出正誤．
④，$|{AB}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2（{{a^2}-{c^2}}）}}{a}=（{\sqrt{5}-1}）a$，即可判斷出正誤．
⑤，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則$\left\{\begin{array}{l}m+n=2a\\ 4{c^2}={m^2}+{n^2}\end{array}\right.，mn=2{a^2}-2{c^2}$，而$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}=\frac{c}{a}$，可得mn，與m+n=2a聯(lián)立即可判斷出正誤．

解答 解：對(duì)①，$a=4，c=2，e=\frac{1}{2}$，①不正確．
對(duì)②，若焦點(diǎn)在x軸上，則$\frac{{\sqrt{12-m}}}{{\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得$m=6\sqrt{5}-6$．若焦點(diǎn)在y軸上，則$\frac{{\sqrt{m-12}}}{{\sqrt{m}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得$m=6\sqrt{5}+6$，②不正確．
對(duì)③，c=2，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，$2a+2c=6+2\sqrt{5}$，③正確．
對(duì)④，$|{AB}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2（{{a^2}-{c^2}}）}}{a}=（{\sqrt{5}-1}）a$，④正確．
對(duì)⑤，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則$\left\{\begin{array}{l}m+n=2a\\ 4{c^2}={m^2}+{n^2}\end{array}\right.，mn=2{a^2}-2{c^2}$，而$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}=\frac{c}{a}$，∴$mn=2{a^2}-2{（{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}a}）^2}=（{\sqrt{5}-1}）{a^2}$，與m+n=2a聯(lián)立無(wú)實(shí)數(shù)解．因此橢圓E上滿(mǎn)足∠F₁PF₂=90°的點(diǎn)P不存在，⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．