Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a-3）x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（x）是偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為（　　）

• A、y=3x+1
• B、y=-3x
• C、y=-3x+1
• D、y=3x-3

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先利用偶函數(shù)的定義求出a的值，再求出函數(shù)f（x）在x=0時的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率即可寫出切線方程．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+（a-3），因?yàn)閒′（x）是偶函數(shù)，
所以f′（-x）=f′（x）恒成立，即3（-x）²-2ax+（a-3）=3x²+2ax+（a-3）恒成立，
所以a=0，所以f′（x）=3x²-3，
所以f′（0）=-3，所以曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程是y=-3x，
故選：B

點(diǎn)評：函數(shù)奇偶性的概念中f（-x）=-f（x），f（-x）=f（x）是兩個恒等式，利用這一點(diǎn)可以求出本題中字母a的值是解題關(guān)鍵．