Question

6．如果直線ax+by+1=0被圓x²+y²=25截得的弦長等于8，那么$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$的最小值等于27+$18\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線ax+by+1=0被圓x²+y²=25截得的弦長等于8建立關系，找出a，b的關系，利用基本不等式求解即可．

解答 解：圓x²+y²=25，其圓心為（0，0，），半徑r=5，
圓心O到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-d1n3xbl^{2}}$=8，
可得：${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{9}$，即9a²+9b²=1，
那么：（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$）（9a²+9b²）=9+18+$\frac{9^{2}}{{a}^{2}}+\frac{18{a}^{2}}{^{2}}$$≥27+2\sqrt{9×18}$=27+$18\sqrt{2}$
（當且僅當$^{2}=\sqrt{2}{a}^{2}$時取等號）．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$的最小值等于27+$18\sqrt{2}$．
故答案為：27+$18\sqrt{2}$

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的弦長的運用，根據(jù)截得的弦長等于8建立關系，找出a，b的關系是解決本題的關鍵．屬于中檔題．