Question

【題目】已知兩點(diǎn)、，點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，若將點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大到倍后得到點(diǎn)，且滿(mǎn)足．

（1）求動(dòng)點(diǎn)所在曲線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，求點(diǎn)、的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），．

【解析】

（1）求出向量、的坐標(biāo)，結(jié)合條件可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）得出直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出的坐標(biāo)，再由點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（1），，

，即，化簡(jiǎn)得，即，

因此，曲線(xiàn)的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、，直線(xiàn)的方程為，

將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得．

由韋達(dá)定理得，，

，，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.