Question

已知f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極值-2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在（-4，5）上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（Ⅰ）由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0
因此，f（x）=ax³+cx f'（x）=3ax²+c
由條件f（1）=-2為f（x）的極值，必有f'（1）=0，故
解得a=1，c=-3因此，f（x）=x³-3x，
（II）f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
當(dāng)x∈（-4，-1）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-4，-1）上是增函數(shù)
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)
當(dāng)x∈（1，5）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（1，5）上是增函數(shù)
分析：（I）根據(jù)奇函數(shù)的定義可求出d的值，然后根據(jù)f（1）=-2，f'（1）=0求出a與c的值，即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（II）先求導(dǎo)函數(shù)，然后在區(qū)間（-4，5）上解f'（x）＞0與f'（x）＜0的解集，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了求單調(diào)區(qū)間的一般方法，屬于中檔題．