Question

4．已知曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$），直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{6}$．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C₁和曲線C₂與直線l分別交于非坐標(biāo)原點的A，B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）利用極徑的意義，求|AB|的值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)），
普通方程為x²+（y-1）²=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$），即ρ=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ，
直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y+2$\sqrt{3}$x；
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ=2sinθ
將θ=$\frac{π}{6}$代入C₁的極坐標(biāo)方程得ρ₁=2，
將θ=$\frac{π}{6}$代入C₂的極坐標(biāo)方程得ρ₂=4，
∴|AB|=ρ₂-ρ₁=3．--------------------------（10分）

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化方法，考查極徑的意義，屬于中檔題．