Question

13．已知函數(shù)f（x）是義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+2x．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）解不等式f（x²-2x）+f（3-2x²）＜0．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（-x）=-f（x），令x=0代入可求f（0）；設(shè)x＜0，從而-x＞0，代入當(dāng)x＞0時的表達式f（x）=x²+2x可得x＜0時的表達式，即可求f（x）在R上的解析式；
（2）不等式f（x²-2x）+f（3-2x²）＜0，轉(zhuǎn)化為x²+2x-3＞0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），f（0）=-f（0）
∴f（0）=0；
設(shè)x＜0，∴-x＞0，
又當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+2x．
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∴-f（x）=x²-2x，
∴f（x）=-x²+2x，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）=-x²+2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
∵f（x²-2x）+f（3-2x²）＜0．
∴x²-2x+3-2x²＜0，
∴x²+2x-3＞0，
∴x＜-3或x＞1，
∴不等式的解集為{x|x＜-3或x＞1}．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求法、解不等式，如果函數(shù)具備奇偶性，通常考慮函數(shù)的奇偶性在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的關(guān)系解決．