Question

20．若橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$的弦被點（2，1）平分，則此弦所在的直線方程是（　�。�

• A． x+y-3=0
• B． x+2y-4=0
• C． 2x+13y-14=0
• D． x+2y-8=0

Answer 1

分析 設(shè)直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把兩點坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點差法求得斜率，然后求解直線方程．

解答 解：設(shè)直線與橢圓交于點A，B，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=16}\\{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$，
兩式相減，得（x₁²-x₂²）+2（y₁²-y₂²）=0，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵點M（2，1）是AB的中點，
∴k_AB=-$\frac{4}{2×2}$=-1，
則所求直線方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0；
故選：A．

點評 本題主要考查了直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了“舍而不求”的解題思想方法，考查直線方程的求法，是中檔題．