Question

15．直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線$y=x+2\sqrt{2}$相切．
（1）求圓O的方程；
（2）圓O與x軸交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P，使得|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出圓心O到直線l的距離得圓的半徑r，寫出圓的方程即可；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出A、B的坐標(biāo)，由PA，PO，PB成等比數(shù)列，得出x、y的關(guān)系式，再求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍即可．

解答 解：（1）圓心到直線的距離為2，所以可得圓O的方程：x²+y²=4．…（4分）
（2）圓O與x軸交于A，B兩點(diǎn)，則A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（x，y），則
∵|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，
∴${x^2}+{y^2}=\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}$，即x²-y²=2，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x^2}-4+{y^2}=2（{{y^2}-1}）$，
∵x²+y²＜4且x²-y²=2，
∴0≤y²＜1，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[-2，0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，考查了等比中項(xiàng)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題目．