Question

已知函數(shù)f（x）=x³+log₂

1+x

1-x

，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：本題中給出了函數(shù)的解析式，以及一個(gè)不等式，求a的范圍，需要利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化，觀察發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，且是一個(gè)單調(diào)增函數(shù)，故解答本題要先判斷其奇偶性，再判斷其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化出關(guān)于a的不等式即可解出a的取值范圍．

解答：解：由題意

1+x

1-x

＞0解得其定義域?yàn)椋?1，1）
∵f（-x）=1x³-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=x³+log₂

1+x

1-x

是一個(gè)奇函數(shù)
  又有單調(diào)性的定義可以判斷出，此函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)
故f（1-a）+f（1-a²）＜0可變?yōu)閒（1-a²）＜f（a-1）
由此不等式可以轉(zhuǎn)化為

a-1∈(-1，1) a 2-1∈(-1，1) 1-a 2＜a-1

解得a∈(1，

2

)
故答案為(1，

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查利用單調(diào)性解不等式，本題要通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性把超越不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組來(lái)求解，轉(zhuǎn)化時(shí)不要忘記定義域的取值范圍，即轉(zhuǎn)化一定要注意驗(yàn)證是否等價(jià)．