Question

14．函數(shù)f（x）=a^x-1-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx-ny-1=0上，其中m＞0，n＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． $3+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)可得A坐標，可得m+n=1，整體代入可得$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）（m+n）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：當x-1=0即x=1時，a^x-1-2恒等于-1，
故函數(shù)f（x）=a^x-1-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（1，-1），
由點A在直線mx-ny-1=0上可得m+n=1，
由m＞0，n＞0可得$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）（m+n）
=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$
當且僅當$\frac{n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=$\sqrt{2}$-1且n=2-$\sqrt{2}$時取等號，
故選：D．

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．