Question

19．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，1），若點(diǎn)B（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\\{\frac{1}{2}≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到線性約束條件，由點(diǎn)到直線的距離公式求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\\{\frac{1}{2}≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

令z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2x+y，
由圖可知，當(dāng)直線z=2x+y與平面區(qū)域切于A₁ 時，z有最大值．
由坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）到直線2x+y-z=0的距離為1，得
$\frac{|-z|}{\sqrt{5}}=1$，解得z=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．