Question

已知函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

（1）求函數(shù)的定義域；
（2）確定函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式可得 x≠0，且 x+1＞0，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）求出f′（x），分x＞0 以及0＞x＞-1兩種情況，都可得到函數(shù)f′（x）＜0，從而得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）、（-1，0）上是減函數(shù)．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1可得，k＜2（1+ln2），再由k 為正整數(shù)，故k的最大值不大于3．k=3 時(shí)，即證當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x 的最小值等于3-e＞0，從而得到正整數(shù)k的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

，可得 x≠0，且 x+1＞0，由此求得函數(shù)的定義域?yàn)?{x|x＞-1，且 x≠0}．
（2）f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln（x+1）]=-

1

x2

[-

x

x+1

+ln（x+1）+1]．
當(dāng) x＞0 時(shí)，1＞

x

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，

1

x2

＞0，∴f′（x）=-

1

x2

[-

x

x+1

+ln（x+1）+1]＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
當(dāng) 0＞x＞-1 時(shí)，令g（x）=[

x

x+1

+ln（x+1）+1]，g′（x）=-

1

(x+1)2

+

1

x+1

=

x

(x+1)2

＜0，
故g（x）在（-1，0）上是減函數(shù)，故g（x）＞g（0）=1＞0，故 f′（x）=-

1

x2

[

x

x+1

+ln（x+1）+1]＜0，故函數(shù)f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)．
 綜上可得，函數(shù)f（x）在（0，+∞）、（-1，0）上是減函數(shù)．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1可得，k＜2（1+ln2），再由k 為正整數(shù)，故k的最大值不大于3．
下面證明k=3 時(shí)，f（x）＞

k

x+1

 （x＞0）恒成立，即證當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令h（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，則 h′（x）=ln（x+1）-1．
當(dāng) x＞e-1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng) 0＜x＜e-1時(shí)，h′（x）＜0，故當(dāng) x=e-1時(shí)，h（x）取得最小值為 h（e-1）=3-e＞0．
故當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，故k的最大值為3．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．