Question

從邊長2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正常數(shù)t．
（1）把鐵盒的容積V表示為x的函數(shù)，并指出其定義域；
（2）x為何值時，容積V有最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中從邊長2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為x的正方形，根據(jù)長方體的體積公式，易得到V的表達式．
（2）求體積最大值的問題，由題意解出v的表達式，對函數(shù)v進行求導，解出極值點，然后根據(jù)極值點來確定函數(shù)v的單調(diào)區(qū)間，因極值點是關于a，t的表達式，此時就需要討論函數(shù)v的單調(diào)性，分別代入求出最大值，從而求解．

解答：解：由題意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴

x＞0 2a-2x＞0 x 2a-2x ≤t

∴0＜x≤

2at

1+2t

∴函數(shù)V（x）=4（a-x）²•x的定義域為 (0，

2at

1+2t

]
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得 x=

a

3

（1）當

a

3

≤

2at

1+2t

，即 t≥

1

4

時，
∵0＜x＜

a

3

時，V′＞0．
V（x）為增函數(shù)；

a

3

＜x≤

2at

1+2t

時，V′＜0．V（x）為減函數(shù)；
∴V（x）在 (0，

2at

1+2t

]上有極大值V（

a

3

），
∵x=

a

3

為唯一駐點，
∴當 x=

a

3

時，V有最大值

16

27

a3．
（2）當

a

3

＞

2at

1+2t

，即 0＜t＜

1

4

時，
∵0＜x＜

2at

1+2t

時，V′＞0恒成立；
∴V（x）為增函數(shù)；
∴當 x=

2at

1+2t

時，V有最大值

8a3t

(1+2t)3

．

點評：此題是一道應用題，主要還是考查導數(shù)的定義及利用導數(shù)來求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．