Question

已知函數(shù)＝＋，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在(0，)上單調遞減，在(，上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）①當a＜0時，函數(shù)的單調增區(qū)間為(，0)，(0，)；
②當0＜a＜1時，函數(shù)的單調增區(qū)間為，0)，(0，；
③當a＞1時，函數(shù)的單調增區(qū)間為，)，(，．
⑵＝＋( x≠0)．
⑶y＝及y＝

（1）①當a＜0時，函數(shù)的單調增區(qū)間為(，0)，(0，)；
②當0＜a＜1時，函數(shù)的單調增區(qū)間為，0)，(0，；
③當a＞1時，函數(shù)的單調增區(qū)間為，)，(，．
（2）由題設及（1）中③知＝，且a＞1，解得a＝3，因此函數(shù)解析式為＝＋( x≠0)．
（3）假設存在經(jīng)過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x，y軸不是曲線C的對稱軸，故可設l：y＝kx(k≠0)．
設P(p，q)為曲線C上的任意一點，與P(p，q)關于直線l對稱，且p≠，q≠，則也在曲線C上，由此得＝，＝，且q＝＋，＝＋，整理得k＝，解得k＝或k＝．
所以存在經(jīng)過原點的直線y＝及y＝為曲線C的對稱軸．