Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（-

1

2

，

3

），且離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩點(diǎn)，線段EF的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（t，0），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）通過橢圓經(jīng)過點(diǎn)A(-

1

2

，

3

)，以及離心率，求出a²=4，b²=1，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)E、F、EF的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），利用|PE|=|PF|，P（t，0），求出t，通過E、F兩點(diǎn)在橢圓C上，得到t=-

3(x1+x2)

2

=-3x0，利用1＜x₀＜1，求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)A(-

1

2

，

3

)
∴

3

a2

+

1

4b2

=1…①…（1分）
∵e=

3

2

∴

c

a

=

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²…②…（3分）
解①、②得，a²=4，b²=1…（5分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：

y2

4

+x2=1…（6分）
（2）設(shè)E、F、EF的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀）
∵線段EF的垂直平分線與x軸相交
∵EF不平行于y軸，即x₁≠x₂…（7分）
由已知，得|PE|=|PF|，且P（t，0）
∴

(x1-t)2+y12

=

(x2-t)2+y22

…（8分）
化簡(jiǎn)，得  t=

y22-y12

2(x2-x1)

+

x1+x2

2

…（9分）
∵E、F兩點(diǎn)在橢圓C上
∴y12=4-4x12，y22=4-4x22…（10分）
∴t=-

3(x1+x2)

2

=-3x0…（11分）
又∵-1＜x₀＜1
∴-3＜t＜3…（13分）
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-3，3）…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．