Question

7．如圖，某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開(kāi)辟為水果園，已知角A為120°，AB，AC的長(zhǎng)度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．
（1）若圍墻AP、AQ總長(zhǎng)度為200米，如何可使得三角形地塊APQ面積最大？
（2）已知竹籬笆長(zhǎng)為$50\sqrt{3}$米，AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高2米，造價(jià)均為每平方米100元，求圍墻總造價(jià)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AP=x（米），則AQ=200-x，得${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}x（{200-x}）sin{120^0}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{\frac{200}{2}}）^2}=2500\sqrt{3}$（米²）即可
（2）由正弦定理$\frac{AP}{sin∠AQP}=\frac{AQ}{sin∠APQ}=\frac{PQ}{sin∠A}$，得AP=100sin∠AQP，AQ=100sin∠APQ故圍墻總造價(jià)$y=100（{AP+2AQ}）=10000（{sin∠AQP+2sin∠APQ}）=10000\sqrt{3}cos∠AQP$，由$0＜∠AQP＜\frac{π}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜\sqrt{3}cos∠AQP＜\sqrt{3}$，得y∈$（{5000\sqrt{3}，10000\sqrt{3}}）$．

解答 解：（1）設(shè)AP=x（米），則AQ=200-x，
所以${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}x（{200-x}）sin{120^0}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{\frac{200}{2}}）^2}=2500\sqrt{3}$（米²）
當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x時(shí)，取等號(hào)．
即AP=AQ=100（米），${S_{max}}=2500\sqrt{3}$（米²）．…（6分）
（2）由正弦定理$\frac{AP}{sin∠AQP}=\frac{AQ}{sin∠APQ}=\frac{PQ}{sin∠A}$，得AP=100sin∠AQP，AQ=100sin∠APQ
故圍墻總造價(jià)$y=100（{AP+2AQ}）=10000（{sin∠AQP+2sin∠APQ}）=10000\sqrt{3}cos∠AQP$
因?yàn)锳P≥AQ，所以$0＜∠AQP＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜\sqrt{3}cos∠AQP＜\sqrt{3}$，
所以y∈$（{5000\sqrt{3}，10000\sqrt{3}}）$．
答：圍墻總造價(jià)的取值范圍為$（{5000\sqrt{3}，10000\sqrt{3}}）$（元）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．