Question

12．已知ω為正整數(shù)，函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+${cos^2}ωx-\frac{1}{2}$在區(qū)間$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}}）$內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）（　�。�

• A． 最小值為$-\frac{1}{2}$，其圖象關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{4}，0}）$對(duì)稱
• B． 最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{8}$對(duì)稱
• C． 最小正周期為2π，其圖象關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{3π}{4}，0}）$對(duì)稱
• D． 最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線$x=-\frac{3π}{8}$對(duì)稱

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求ω的值，進(jìn)而即可得解．

解答 解：∵f（x）=sinωxcosωx+${cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
又∵f（x）在在區(qū)間$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}}）$內(nèi)單調(diào)遞增，
∴由-$\frac{π}{2}$≤2×（-$\frac{π}{3}$）ω+$\frac{π}{4}$，2×$\frac{π}{12}$ω+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，解得：ω≤$\frac{9}{8}$，ω≤$\frac{3}{2}$，
∴由ω為正整數(shù)，可得ω=1，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期為π，故A，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈z，可得當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）關(guān)于直線x=-$\frac{3π}{8}$對(duì)稱．
∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．