Question

1．已知點P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上一動點，且滿足|PA|=2|PB|，設(shè)PD₁與平面ABCD所成的角為θ，則θ的最大值是$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 先求出點P的軌跡方程，再利用正方體的幾何性質(zhì)解決找出θ取得最大值時P點的位置，求出θ的最大值．

解答 解：以B為原點，分別以BC，BA，BB₁為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設(shè)P（x，y，z），A（0，2，0），
∵|PA|=2|PB|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}+{z}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，化簡得：x²+（y+$\frac{2}{3}$）²+z²=$\frac{16}{9}$．，
∴點P的軌跡為以點Q（0，-$\frac{2}{3}$，0）為球心，以$\frac{4}{3}$為半徑的球與正方體表面的交線，即圖中弧$\widehat{EMG}$，$\widehat{GSF}$，$\widehat{ENF}$，
故當PD₁與底面ABCD所成角最大，則PD₁與底面ABCD的交點R與點D的距離最短，
∴當點P為DQ與$\widehat{ENF}$的交點時，PD₁與平面ABCD所成的角θ最大．
設(shè)正方體的邊長為2，則AD=2，AQ=$\frac{8}{3}$，∴DQ=$\sqrt{A{D}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，∴DP=DQ-PQ=2．
∴tanθ=$\frac{D{D}_{1}}{DP}$=1，故θ最大值為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了動點的軌跡，線面角的定義，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬中檔題．