Question

6．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各頂點(diǎn)都在同一球面上．若AB=AC=AA₁=2，∠BAC═90°，則該球的體積等于4$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球心是上下底面斜邊中點(diǎn)的連線段PQ的中點(diǎn)．在直角Rt△POB中，利用勾股定理算出BO的長(zhǎng)，即得外接球半徑R的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積．

解答 解：直三棱ABC-A₁B₁C₁的各頂點(diǎn)都在同一球面上，（如圖）
∵△ABC中，∠BAC═90°，
∴下底面△ABC的外心P為BC的中點(diǎn)，
同理，可得上底面△A₁B₁C₁的外心Q為B₁C₁的中點(diǎn)，
連接PQ，則PQ與側(cè)棱平行，所以PQ⊥平面ABC
再取PQ中點(diǎn)O，可得：點(diǎn)O到A、B、C、A₁、B₁、C₁的距離相等，
∴O點(diǎn)是三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球心
∵Rt△POB中，BP=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，PO=$\frac{1}{2}$AA₁=1，
∴BO=$\sqrt{3}$，即外接球半徑R=$\sqrt{3}$，
因此，三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球的體積為：V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{3}$）³=4$\sqrt{3}$π．
故答案為：$4\sqrt{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特殊的直三棱柱，求它的外接球的體積．著重考查了線面垂直的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球體積的公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．